吴正宪

吴正宪：我对“比”教学的一点思考

首先教材中对“比”的意义描述不错，但这样的定义对“比”来说不丰富、不完善、不理想。小学生学习“比”，应先学习两个量的“比”而不是两个数的“比”。

"比"是两个数量倍数关系的表达和度量，是通过除法运算得到的而不是除法运算本身。所以不能把"比"简单地理解为除法，不能把它当作一个知识点去教，而应该让学生体会它是一把"尺子"，感悟变量以及变量之间的关系，培育学生的数学思维模式。我在讲这节课时，提出了对“比”的5点想法：

1.建立“比”的概念要从儿童比较熟悉的食物、从儿童现有的生活经验出发，让“比”更加平易近人。2.建立“比”的概念，要给儿童提供机会，通过典型的、丰富的具体事例，特别是让儿童自己举例，引导其在观察，分析、比较中，感受“比”的意义，逐步概括出比的本质特征，得到“比”的本质属性。3.建立“比”的概念，引导儿童体会与相关概念之间的联系，形成良好的教学认知结构。4.建立“比”的概念，要整体统筹和设计，可以分为几节课来完成。5.建立“比”的概念，不能简单地把“比”当作一个知识点来教，而应当让儿童在学习中感悟变量及变量之间的关系，渗透数学思想，培育数学思维模式，为后续学习打好基础。

数学教学要抓住“魂”，课才能深刻、厚重。把教材本质放心中、把儿童放心中，把有意义的数学学习变得更有意义！

老师谈

“深”入尚需“浅”出

——吴正宪老师《比的意义》一课赏析

一次教学，能用“深入浅出”来形容，至少可以说明两点，其一，反映教者对教学内容的内涵、体系、价值的深度把握；其二，反映教者对学习者认知基础、认知形态的透析了解。无疑，吴正宪老师正是这样一位“数学”研究与“儿童”研究的高手。借《比的意义》一课，我们一起来回顾欣赏，分析吴老师课中的“深”与“浅”。

一

“深”入——基于“数学”的深度认知

首先谈“深”，主要从目标维度分析。从目标定位看，显然，吴老师并不满足于将“比”看作“除法”的“附庸”，而是试图探寻“比”更为宽广的教育价值与教学伸展可能。我们至少可以解读出以下几个方面的目标预设与实践。

1.凸显概念内涵

“比较两个同类量的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a:b”，这是关于比的概念的本质描述。如何让学生体会这一本质？吴老师以“水与奶粉的比是2:1”为例，引导学生理解：“奶粉是1份，水有这样的2份”“水占了三分之二、奶粉占了三分之一”“也就是水的质量是奶粉的2倍”……

从原概念“份”“倍”“分数”出发，迁移归纳，揭示“比”的本质意义。更为重要的是，教师在后面的教学展开中，通过“正例”“变式”“反例”的辨析，对“比是一种关系”“比必须要统一标准”“可以是同类量的比，也可以是不同类量的比”“比是有顺序的”“可以是两个量的比，也可是多个量的比”等等，有了深刻的认识。

2.实现知识贯通

利用学习者认知结构中原有的概念，找出两者的联系，通过比较新旧概念的差异，进而使学习者获得概念的过程，我们称之为“概念同化”。分析吴老师《比的意义》教学轨迹，无疑，正是让学生充分经历了概念同化的过程。而概念同化的过程中，自然地将新知纳入已有认知结构，实现了概念之间的关系沟通。课堂现场看，从“水和奶粉的比是2:1”理解，到学生自主举例“当1g糖，10g水时，糖和水的比是1:10，糖是10份、水是1份，也就是水占了十一分之一，糖占了十一分之十”，显然，比与“份”“分数”等知识的贯通理解已十分清晰。

3.渗透函数思想

如果“比”与“倍”“份”“分数”“除法”是一回事，那么，引入“比”这一概念的价值与意义是什 么？引用吴老师的阐述：“比是为比例学习做准备的，可以扩展为变量之间的函数关系。”基于这样的认识，吴老师引导学生思考：奶粉10克，水几克？——水扩大2倍呢？——水扩大4倍呢？通过“你变我也变”“一个量扩大几倍，另一个量也扩大几倍”等表达，让学生体会“变量中的函数关系”。显然，函数思想的渗透还原了“比”的本质。

4.导向问题解决

“概念学习”的价值最终会走向“概念应用”。吴老师的课中，借助“师生人数比”“北京到上海、 杭州到北京的路程时间比”等素材，思考“知道路程:时间=300:1，路程:时间=100:1，可以推想出分别坐了什么交通工具？”不断让学生体会“比是一把尺子”“比可以进行比较”“比可以帮助判断”。在丰富情境中，基于概念理解，止于问题解决，目标视角逐渐走高。

二

“浅”出——基于“儿童”的经验对接

所谓“浅出”，主要是从学生维度所作的思考。吴老师一直是“儿童中心”的积极倡导者和实践 者，在她的课堂上，“顺儿童思考而教”“善用童言童智”“将学生置于学的主体”等理念有了最为真实的展现。

1.前在经验、潜在认知的真实呈现与激活

分析吴老师的教学路径，经历了“原概念呈现——新旧概念联结——概念本质辨析”的过程。激活学生的生活经验，把握学生的前概念理解，是吴老师基于儿童教学的真实写照。

——“你在哪儿听说过比？”回答“金龙鱼广告中 1:1:1”“足球比赛中进球比是1:2”“比成绩”“比分数”……让我们看到了吴老师带领学生直面起点、直面错误、直面差异的勇气与智慧。 ——“大家读懂了水与奶粉的比是2:1吗？说说你的理解”，我们看到，吴老师鼓励学生自主完成新旧概念的联结，联结方式从直白告知变为联想推理，而这样的联想推理又是学生自发完成的。 ——“路程:时间=速度，1500:5=300:1，1500:15=100:1，说说是什么意思？”“速度是300，也就是300:1，即1小时行了300千米。”我们看到，“不同类量的比产生新的量”，当“速度”以比值形式出现的时候，是学习的难点，吴老师依然不忘将其还原为生活理解，突破难点。

2.好材料、好任务驱动自主建构

“润物细无声”，将“高目标”融于“自然对话”，是吴老师《比的意义》一课的鲜明特点。为什么能实现如此细腻、丰富的目标，一方面得益于吴老师与学生的沟通艺术，我以为，好材料本身所蕴含的独特功能功不可没。试以部分练习材料及相应的功能，举例如下：

材料1：小亮155cm，我1m——实现了从“同单位”到“不同单位”的变化，自主形成单位统一的认识；材料2：某县城一所学校有学生3000人，教师100人——自主实现了从“具体量”到“份”的跨越，渗透“最简比”的意识；材料3：从北京到上海全程1500千米，行驶5小时。从杭州到北京全程1500千米，行驶15小时——实现了从“同类量”到“不同类量”的变式，丰富“比”的类型；材料4：混凝土由水泥、沙子和水搅拌而成。水泥占1/5，沙子占3/10，石子占1/2 _实现了从“两量比”到“多量比”的拓展，体会引入“比”的价值。

值得欣赏的是，几乎每一个情境的展开中，教师都没有刻意的引导，而是学生基于比的本源意义——“以（ ）作标准，（ ）就有这样的几份”，自主完成“比”的理解与表达。

材料1，学生写出的3个比为“155:1” “155:100”“100:1”，通过“标准比较”的思路，自然排除 了“155:1”与“100:1”两个错误答案，学生对于“单位要统一”也就不言自明。材料2，学生板演的比是“3000:100”与“30:1”，前者仅停留于“具体量”的比，后者自然地将其提升为“份”的思考：如果老师是1份，学生有这样的30份。材料3，则更是一个极好的开放性材料，学生可以写出多个比，又自然引出不同类量的比。材料4，虽然变式为“三量”关系，但学生依然基于“标准”的思考，如果以沙子作标准，占10份中的3份，那么水泥则是10份中的2份，石子是10份中的1份，三者的比是“2:3:5”。由此，一方面，我们由衷感叹吴老师基于“比较” “标准”“关系”把握基础上的“比”的本质挖掘，另一方面，也佩服吴老师为实现目标所设计的结构化材料与驱动性任务。